（芝加哥時報訊）可以想象，在今年夏天的世界杯期間，觀眾席一定會出現這樣叫喊聲：“這判罰太糟了！”“這根本不是犯規！”“對方應該被判點球！”

幸好，人們可以通過視頻回放進一步驗證，甚至是推翻裁判的判罰。當然，這項技術也可能在球迷中引發了激烈爭論。不過我感興趣的是視頻證據和視頻助理裁判背後的數學。

不久前，一位親近的同事詢問了我一個看似無傷大雅的問題：如果想要盡可能準確地覆蓋一整塊比賽場地，最少需要多少台攝像機？它們最好放在哪裡，才能確保每個動作都被拍下來？事實證明，這個問題不好回答。

從美術館到足球場

在數學中，這類問題中更為人熟知的是“美術館問題”。1973年，數學家瓦茨拉夫·赫瓦塔爾（Václav Chvátal）給同事維克托·克利（Victor Klee）出了一道有趣的幾何題。克利也予以回應，提出要保護一座美術館，最少需要多少名警衛？

這是一個經典的優化問題（在給定約束條件下，從所有可行解中尋找最佳解的數學問題），答案取決於美術館的形狀。對於一個牆上掛著畫的矩形房間，如果沒有柱子或人擋住視線，理論上一名警衛就夠了。警衛站在一個角落，就能輕鬆查看整個區域。

如果空間形狀更複雜，答案就沒這麼簡單了。1975年，赫瓦塔爾發表了一篇論文，證明在一個有n個角的房間里，所需的最少警衛數至多為n/3，如果結果不是整數，就向下取整。

想要直觀理解這個證明，可以想象將這個房間劃分成若干三角形。每個三角形的端點都對應於原區域的頂點，即房間的一個角。一名警衛可以完整巡視一個給定的三角形。

現在，想象取三種顏色，比如紅、藍、綠，給每個三角形的頂點著色，使得任意相鄰頂點的顏色都不同。只要在某一種特定顏色對應的每個點上都放置一名警衛，比如所有藍色點，就能監視整片區域。由於這個區域的n個頂點最多可以用三種顏色著色，所需警衛至多為n/3。

這套推理提供了一個解，但未必是最優解。對於任意形狀的房間，要確定最少需要多少名警衛，以及他們分別應當站在哪裡，是一個公認的複雜問題。有時即使借助計算機，也會在求解時逼近極限。專家把這類問題稱為非確定性多項式完全問題，即NP完全問題。

有22個球員的比賽場地

足球場的結構相當簡單：一個矩形。只要視角至少達到90度，在角落放一台攝像機應該就能覆蓋整塊場地。

但是拍一塊空場地沒有任何意義。足球比賽時，場上最多有22名球員在不斷移動、爭搶球權，他們之間還會不斷相互遮擋，這些都會讓拍攝任務變得更加複雜。

我們可以先從一個靜態問題入手，假設這22名球員在球場上靜止不動。從數學上來看，這種情形類似於美術館警衛問題，只不過會有22個區域是警衛或攝像機看不到的“盲區”。

2009年，在伊利諾伊理工學院（Illinois Institute of Technology）任職的數學家赫曼舒·考爾（Hemanshu Kaul）和趙英珠（YoungJu Jo）證明，在這種情況下，需要10名警衛或10台攝像機就足夠了。他們證明時，並沒有把區域劃分成三角形，而是劃分成多邊形；再根據這些多邊形確定了一個由點和線構成的網絡，並確定給網絡中的點著色的最佳方式。

不過，考爾和趙的答案只是一個可行解，未必是最優解。也許更少的警衛也可以。

現實只會更複雜

我們還需要考慮更現實和複雜的情況：22個球員全都在移動。另外，考慮時還需要注意，足球比賽中有很多情況是三維的，不只有球員的腳和腳在地面上的運動。此外，攝像機的能力也有限，它們無法像數學家在美術館警衛問題中所設想的那樣，覆蓋360度的視野。

所有這些因素都讓問題變得十分複雜：對於這類任務，目前只能借助計算機輔助分析。雖然這種方法可以針對某些特殊情形，制定一個近似結果。但針對於“想要完美監測每場比賽，至少需要y台攝像機放在球場上的特定位置”，這種方法並不能提供一個普適的明確結論。

不過，在拍攝足球比賽時，我們還能加入另一種輔助因素：模擬和過往經驗。這類比賽已經被拍攝和轉播了數十年來，這些歷史可以幫助組織者確定了每台攝像機的最佳位置。

在上一屆卡塔爾世界杯上，共有42台攝像機對準了球場上的22名球員，其中包括8台超慢動作攝像機和4台極慢動作攝像機。遺憾的是，國際足聯（FIFA）並沒有明確說明為什麼使用這麼多攝像機。這個數量看起來很大，但大概是為了確保盡可能全面覆蓋整個球場。考慮到國際足聯的財力，大概也不需要費力去找使用攝像機最少的答案。

不過，攝像機的擺放位置頗有啓發性。大多數攝像機都佈置在兩個球門附近和中線一帶，那些最激動人心的場面很可能最常發生在這些地方。

另外，許多規模較小的俱樂部和組織面臨的並不是尋找最佳拍攝機位的問題，而是一些完全不同的挑戰。為了保證視頻證據可靠，他們需要對這些設備必須進行精確校准和安裝，而這並非易事。

如果你在觀看今年的世界杯時，如果碰巧聽到情緒激動、怒氣沖沖的觀眾抱怨視頻證據，不妨試著跟他們講講這項任務背後的數學複雜性，幫助他們冷靜下來。